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什么是多普勒效应？声源同观察者有相对运动时，观察者接收到的频率同声源发射的频率不一样。大家听的比较多的应该是救护车的例子，如图1，救护车向你驶来时，声音越来越尖锐，离你远去时，声音逐渐变平。
图1
再看个比较有意思的例子，如图2，观察者在移动声源的前方，当声源移动速度超过声速时，奇妙的现象出现了，观察者的方向听不到声音，除非声源经过观察者时。这时可能会产生音爆，如图3。
图3
如何定量分析呢？接下来上干货了。一式以蔽之：
核心原理是
f是原始声源频率，f'是观察者接收到的频率，声音速度v，声源速度vs，观察者速度v0。分四种情况。
情况1：观察者不动，声源向观察者移动
情况2：观察者不动，声源远离观察者
情况3：声源不动，观察者向声源移动
情况4：声源不动，观察者远离声源
这里有个小笑话，一个物理学家闯红灯被警察拦下，警察问：“没看见交通灯吗？”物理学家说：“看到了，但是由于多普勒效应，交通灯向我发出的红色光频率变高，在我看来是绿色的，所以没有停车，这是自然规律，请理解。”警察想了想，说：“有道理。”便给物理学家开了张超速的罚单……
学以致用，下面进行实战。
利用雷达回波进行飞机测速，物理基础就是多普勒效应（Doppler effect）。如图4所示，地面雷达发射的电磁波频率为，目标飞机以一定速度靠近雷达，目标飞机接收到的频率会发生变化，然后反射回去，雷达接收到的频率又会发生变化。
图4
由于目标运动导致的频率变化称之为多普勒频率，记为△f。
连续雷达回波可表示为
式中Ts为采样周期，q(n)为高斯白噪声。只要对上式进行DFT，然后再检索幅度谱的谱峰即可得到多普勒频率△f，从而计算出目标的速度v
数据仿真，雷达的发射信号f=10GHz，系统采样频率fs=0.25MHz，目标速度v=300m/s，距离为R0=8km，回波持续时间T=4ms，回波信号幅度A=0.01。图5为回波的时域信号，正弦信号完全淹没在高斯白噪声中。雷达回波的频域信号如图6，峰值出现在k=80处，对应多普勒频率
目标的速度
图5 回波的时域信号
图6 回波的频域信号
%连续波雷达测速%包括连续波雷达回波数据仿真%利用DFT分析回波频谱，得到目标速度值c = 3e8; % 光速fs = 0.25e6; ts=1/fs; %采用频率和采样周期f = 10e9; % 雷达载频lambda = c/f; % 雷达工作波长T= 4e-3 % 回波持续时间R = 8e3; % 目标距离v = 300; % 目标速度delta_f = 2* v/lambda; % 多普勒频率A= 0.01; %衰减系数t = 0:ts:T-ts;N = length(t);s1 = A*exp(j*(2*pi*delta_f.*t - 4*pi*R/lambda));qr = A/0.5*randn(1,N);qi = A/0.5*randn(1,N);x1 = s1+qr+j*qi; % 单目标雷达回波X1=fft(x1);magX1 = abs(X1)/max(abs(X1));phaX1=angle(X1);n = 0:N-1;figure;subplot(1,2,1); plot(n,real(x1));xlabel('Number of samples'); ylabel("Received signal"); grid;subplot(1,2,2); plot(n,20*log10(magX1));xlabel('Number of samples'); ylabel("Amplitude |X(k)|"); grid;[1] https://byjus.com/physics/doppler-effect/
[2] https://en.wikipedia.org/wiki/Doppler_effect#cite_note-17
[3] 深入浅出数字信号处理
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