运动学中五种图像，后两种虽不常见，但一定要重视

你好，我是方山

在做物理题目的时候，图像类问题是特别常见的一类问题，今天我想给你讲讲在运动学中常见的五类图像。特别是后面两种图像，虽然并不常见，但是一定要重视，近几年高考中有出现过这两类图像。

关于图像类问题，我们主要是要搞清楚以下的几个物理含义

第一个：图像上点的含义

第二个：图像上斜率的含义

第三个：图像与横轴围成的面积的含义

把以上三个问题考虑清楚，那么图像的具体含义就能够被完全理解。

如上图，若有a、b两个物体运动的x-t图像

(1)在t=0时刻，a、b两物体的位移分别为x2、x1。

几乎所有的教材和教辅资料上把x-t图像称为“位移-时间”图像，其实这个叫法很让人误解，特别是在这个t=0时刻，为什么在计时起点处，物体就产生了位移？

我把这个图像叫做“位置-时刻”图像，如此一来，就可以解释上面的问题了，是因为在初始计时时刻，物体的位置在x2、x1处。

(2)在两图像的交点处，代表的是两物体在此处相遇

图像斜率的含义都需要依据高中数学中的“求导”含义来解释，或者用大学数学中的“微分”来解释。

在这里，我利用高中数学中的“求导”含义来简单解释一下其斜率的含义。

对于一个函数y=f(x)而言，求解其在x0切线的斜率有

其本质含义是△y/△x，并且让△x→0。

套用到物理学中的x-t图像上来，△x/△t代表的物理含义是平均速度，而当△t→0时，则代表的是物体的瞬时速度。

x-t图像的斜率的含义，代表的是物体运动的瞬时速度

根据这个含义，我们来看看刚才的a、b物体具体在做什么运动

由于a、b的斜率恒定，即a、b物体的速度恒定，可知它们都在做匀速直线运动，只不过a的斜率比b的斜率小，即a的速度比b的速度小。

x-t图像与横轴围成的面积无任何实际的物理意义。

下面举一个例子，方便你对此图像有更加深入的了解

【题目】

甲乙两车在同一条直道上行驶，它们运动的位移s随时间t变化的关系如图所示，已知乙车做匀变速直线运动，其图线与t轴相切于10s处，则下列说法正确的是()

A．甲车的初速度为零

B．乙车的初位置在s0=60m处

C．乙车的加速度大小为1.6m/s2

D．5s时两车相遇，此时甲车速度较大

【分析】

位移时间图象的斜率等于速度，则知甲车的速度不变，做匀速直线运动，初速度不为零，故A错误．乙车做匀变速直线运动，其图线与t轴相切于10s处，则t=10s时，速度为零，反过来看成初速度为0的匀加速直线运动，则x＝1/2at2，根据图象可知，s0＝1/2a•100，20＝1/2a•25，解得：a=1.6m/s2，s0=80m，故C正确，B错误；5s时两车相遇，此时甲的速度v甲＝20/5＝4m/s，乙的速度为v乙=at=1.6×5=8m/s，故D错误．故选C.

1.点的含义

(1)t=0时刻，a、b的速度分别为v2、v1；

(2)交点处代表速度相等，若在追及相遇问题中，此时两物体出现间距的最值

2.斜率的含义

△v/△t代表的是物体的加速度，当△t→0，即是物体的瞬时加速度

故v-t图像的斜率的含义，代表的是物体的瞬时加速度

3.图像与横轴所围成的面积

关于图像的面积含义，需要用到高等数学的“积分”思想，下面我只是简单阐述一下其含义，不做深入探究。

有一物体运动的v-t图像如上图所示，从图像上可知，物体的速度是不断在变化的，我们不能用x=vt求出其位移的大小。

我们可以取非常非常小的时间间隔△t，那么在这个小的时间间隔里面其速度的变化可以忽略不计，近似看成是匀速直线运动，那么在一个小的时间间隔中物体的位移△x=v·△t，就如同上图中一个个阴影部分的面积，当△t→0时，这些阴影部分足够细，最终就是曲线与横轴围城的面积，如下图所示。

故v-t图像与横轴围成面积的含义，表示的是物体运动的位移。

下面举一个例子，方便你对此图像有更加深入的了解

【题目】

某物体沿直线运动的v－t图象如图所示，由图可以看出物体

①沿直线做往复运动

②沿直线向一个方向运动

③加速度大小不变

④做匀变速直线运动

以上说法正确的是(　)

A．①③B．②④

C．仅②D．③④

【分析】

由速度－时间图象可知，速度有正有负，速度为正表示物体向正方向运动，速度为负表示物体向负方向运动，所以①正确，②错误；速度－时间图象的斜率表示物体的加速度，由题图可知图象斜率的大小不变，所以加速度大小不变，③正确；由题图可知，加速度的方向是变化的，所以此运动不是匀变速运动，所以④错误．故A正确，B、C、D错误．

1.点的含义

(1)t=0时刻，两物体的加速度分别为a1、a2

(2)交点处，表示两物体的加速度相等

2.斜率含义

斜率无意义

3.图像与横轴围成的面积

△v=a·△t，当△t→0时，则就形成图像与横轴的面积

a-t图像与横轴围成的面积含义，表示的是物体速度

下面举一个例子，方便你对此图像有更加深入的了解

【题目】

一物体做直线运动，其加速度随时间变化的a－t图象如图所示．下列v－t图象中，可能正确描述此物体运动的是(　　)

【分析】

由题图可知，在0～T/2时间内a＝a0>0，若v0≥0，物体做匀加速运动；若v0<0，物体做匀减速运动，故B、C均错误；由于在T～2T时间内a＝－a0，故物体做匀减速运动且图线斜率的绝对值与0～T/2时间内相同，故A错误，D正确．

这种图像下，只考察匀变速直线运动

对于匀变速直线运动的物体，其位移时间关系一定有

两边同时除以t，可得

可知其图像的斜率表示的是1/2a,截距表示的是初速度v0

下面举一个例子，方便你对此图像有更加深入的了解

【题目】

一质点沿x轴正方向做直线运动，通过坐标原点时开始计时，其x/t-t的图象如图所示，则()

A．质点做匀速直线运动，速度为0.5m/s

B．质点做匀加速直线运动，加速度为0.5m/s2

C．质点在第1s内的平均速度0.75m/s

D．质点在1s末速度为1.5m/s

【分析】

斜率为1/2a=0.5/1，可知a=1m/s2，v0=0.5m/s，所以物体在做初速度为0.5m/s，加速度大小为1m/s2的匀加速直线运动，根据v=v0+at，可知在1s末的速度为1.5m/s

这种图像下，只考察匀变速直线运动

下面列举几种常考的类型

1.物体在原点处向正方向上做初速度为零的匀加速直线运动

根据v2=2ax，可知这是一个开口向右的抛物线，当然，这里只能取第一象限的部分。

2.物体不在原点向正方向上做初速度为零的匀加速直线运动

根据

可知

由此可知，这是一个开口向右的抛物线，并且顶点坐标为

下面举一个例子，方便你对此图像有更加深入的了解

【题目】

一汽车从静止开始做匀加速直线运动，然后刹车做匀加速直线运动，直到停止。下列v-x图像符合要求的是()

【分析】

第一段匀加速直线运动，开口向右，顶点在原点，直接删掉C、D选项；后面一段做匀减速直线运动，根据上面的分析，可知其开口必须向左，只有A符合要求。

a-t图像，v-t图像，x-t图像在数学上的本质是“微积分”的关系，

而“微分”和“积分”在数学上是互逆运算。

所以，才有a-t图像的面积代表速度v，而v-t图像的斜率代表a；

同理的，还有v-t图像的面积代表x，而x-t图像代表的是速度v。

另外，下面两种图像x/t-t图像与v-x图像

我们需要对其表达式的数学含义进行深挖，才能找到其具体的含义

这类题目在高考中出现过，所以这类图形一定要重视起来

未来高考中可能还会有其他的新的图形出现

但是我们通过对以上图形的分析，可以知道，不管图形如何变化

我们要找的是这个图形背后隐含的数学含义

搞清楚这个问题，什么图形都可以被拿下了