在半主动悬架控制理论中，最经典最广泛应用的Skyhook天棚阻尼控制为如下基本形式：
这是最简单的开关式(on-off)天棚阻尼控制，通过判断簧上质量的垂向速度和减振器行程速度的方向符号，来决定可控阻尼减振器的阻尼系数。控制框图如下，车身加速度、悬架动挠度、车轮动载荷等信息在仿真和测试中用于评价控制效果。
我们在之前的文章《风拂峰上枫：开关式半主动悬架天棚(Skyhook)阻尼控制及ADAMS&MATLAB联合仿真》中针对这种开关式天棚阻尼控制方式，从悬架垂向运动经验的角度，分析了在天棚阻尼控制下的悬架工作状态和具体控制效果，并做了简单的仿真。
其实，如果仅作为应用，到这一步已经可以说对天棚阻尼控制有了基本的理解，在工程和科研工作中完全可以在此基础上向前进一步探索，比如再向前一小步，开关式控制进化为连续阻尼控制，这一小步很多文献都有讲解，也不是很复杂，比如教科书《汽车原理》中就有简单介绍。但是我这人有点一根筋，再继续往前探索之前，仍有一个问题不搞清楚不行，就想倒退一小步，把天棚阻尼控制背后的原理搞清楚，一个核心的问题——为什么要用车身垂向速度和车轮相对于车身的垂向速度符号，即v_2(v_2-v_1)，来作为阻尼控制的依据？上篇文章似乎从经验的角度解释了这个问题，但总觉得不够充分，也没有找到相关文献从正向来说清这件事。所以本人斗胆，在苦思冥想之下，试图从正向推导这个已经成熟应用几十年的控制方法，过程不长，但这事儿，也得从头说起。
所谓从头说起，也不想废话太多，天棚阻尼控制的构想有太多清晰的介绍，一切就从下面这个理想Skyhook和实际可调阻尼的转化说起。本文目标，不要太跳跃，一步一步，把天棚阻尼控制的最终形式推导出来，如能让新入坑者有一种豁然开朗的感觉，就深感荣幸了。
理想天棚阻尼控制到实际阻尼控制的转换是指虚拟的天棚阻尼系数c_{sky}到实际可控阻尼系数C的转换。真实控制中，就是对可控阻尼系数C的连续可调。牢记在心Skyhook是针对车身的控制策略，所以虽然运动微分方程中同时写出了车轮的部分，但为了不干扰，只需留意如下两个等式是等效的。
既然两式等效，就意味着C(ż_2-ż_1)=c_{sky}ż_2，从而，就得到了Skyhook的雏形：
有了阻尼系数，就可以很方便的得到实时的阻尼力：DF=C(ż_2-ż_1)=c_{sky}ż_2，这也是各种文献中常见的Skyhook写法。而c_{sky}，只是一个预先设定的固定参数，可以是可调阻尼减振器的上限阻尼系数C_{max}，也可以是它乘以一个标定过的比例系数，一旦经过标定确认，算法中不会再有变化。所谓的连续阻尼可调，是因为ż_1和ż_2车身和车轮的速度是随时间变化的，那么得到的可控阻尼系数C也便是随时间连续变化的值了。归纳来说，c_{sky}是标定参数，C才是连续可调阻尼系数。
得到了Skyhook的雏形，还缺少它生存的逻辑。我们知道，力，是一种矢量，有正负之分，阻尼力也不例外。减振器阻尼力的正负，完全是由行程速度的正负决定的，而阻尼系数，作为半主动悬架永远为正，或者说是个标量，并无正负之分。
也就是说，DF=C(ż_2-ż_1)中可控阻尼系数C不可能为负值。然而我们再观察一下这个可调阻尼系数的算式：
c_{sky}是一个可标定的符号为正的固定值，控制开发中一旦确定，并不会实时变化，但ż_1和ż_2作为车身和车轮的速度标量，必然会把符号运算带给可控阻尼系数C，如果放任不管，那么C一定会出现负值的情况，这就违背了物理定律——算法请求减振器提供负的阻尼系数，可是减振器做不到……
那怎么办？既然减振器做不到负的阻尼系数，那只能提供最小阻尼了，不是主动悬架，这真的是尽力了。也就是说当控制算法请求负阻尼系数时，减振器直接提供最小阻尼系数，即：
既然如此，C_{min}要尽量小，如果能达到0，当然最好了，但任何一种液压阻尼可调减振器，阻尼系数都不可能做到0，是有下边界C_{min}的。当然，既然有下边界，也一定会有上边界C_{max}，这也是减振器固件限制，因此当算法请求阻尼系数为正的时候，如果C=(c_{sky}ż_2)/(ż_2-ż_1)计算得到的值小于C_{min}，超出减振器可控阻尼下边界，则限制阻尼系数为C_{min}；如果C=(c_{sky}ż_2)/(ż_2-ż_1)计算得到的值大于C_{max}，超出减振器可控阻尼上边界(设想车身车轮速度相同的情况)，则需要限制阻尼系数为C_{max}。这里的上下边界，是由减振器固件本身能力决定的，而实际在开发工作中，会对上下边界进行重新标定，也就是说未必会使用减振器的最大上下边界。对上下边界的标定，可以实现多种模式的Skyhook控制效果，如车机可选的Comfort、Normal、Sport三种最基本的悬架模式，便是三种不同的Skyhook控制的标定结果，甚至可以做到车速自适应或载重自适应的Skyhook等等应用方案，就不细说了。
那么，对于可控阻尼系数上下边界的标定，就是对控制算法施加了一个饱和运算：
到这里，Skyhook已经接近最终形态了，还有一丢丢的小Bug。注意到对阻尼系数算法符号的判断逻辑，使用的是ż_2/(ż_2-ż_1)大于0还是小于0。这是一个除法运算，要用这个运算来判断正负，我们人工来进行正负判断时，只需要大概算算很快就可以得到想要的结果了，可是这个正负判断需要计算机来搞定，现在计算机还没智能到这个地步，我们给一个除法运算来判断正负，计算机会怎么办？它真的会把这个运算做完得到精确的数值，如果恰好得到一个无穷数，那么计算机将发挥最大算力告诉你结果，如果恰好车身车轮等速，分母为零，这BUG……所以，用除法运算来判断正负，既不高效，又会出BUG。而乘法运算就不会有这个问题了，首先不可能有运算BUG，其次计算结果精度取决于参与运算的数值的精度，对控制器不会有负担，因此，判断正负的方式改为ż_2(ż_2-ż_1)，也就是v_2(v_2-v_1)。
Congratulations!Skyhook天棚阻尼控制的最终形态诞生了，后面的大家可以自行发挥了，希望能帮到跟我一样有过困惑的人。在最后，延伸几个小tips。
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