【学密码学发现自己把抽象代数的知识差不多忘光了，特别是对于上面这个问题，许多教材说了结论，又不给过程，很让我弄不懂啊。好吧，这篇文章主要就是用例子解答这个问题。】
结论摆上：交错群A_4的阶为12，但它没有阶为6的子群。
为啥呢？不着急，一个个解释。
交错群是啥？交错群即是全部为偶置换的群。
那为啥交错群A_4的阶为12？
先不管交错群，我们先定义一个集合，里面有4个元素，分别为1，2，3，4。那么这个集合的置换群的阶是多少？
置换群包含了所有集合的置换，简单来说，只要就是所有元素的排列。注意排列是有序的，组合是无序的。
直观一点，排列个数就是4*3*2*1=24，个，究竟有哪24个？
也就是说有这24种置换可以把集合分别置换成不同的结果。
然后，其中有一些是偶置换，有一些是奇置换。注意上面的表格并没有写成置换的形式。正确的形式：
例如排列1234，写成置换是(1)(2)(3)(4)
排列1324，写成置换是(1)(23)(4)
我们可以证明，这类集合的置换群里，偶置换的个数等于奇置换的个数，证明可在各大教科书上找到。
那么对于来说，就有12个偶置换，即交错群A_4的阶为12了。究竟是哪12个呢？
我们可以找出一个阶为1的子群，例如第一个排列1,2,3,4,写成置换就是(1)(2)(3)(4)
我们可以找出一个阶为2的子群，例如第一列第二行和第三行的两个排列1,3,4,2,和1，4，2，3写成置换就是(1)(234)和(1)(432)
我们也可以找出一个阶为3的子群，例如第一列第二行和第六行，以及第二列第一行1,3,4,2,和2，4，1，3，以及3，1，4，2
写成置换就是(1)(234)和(1243)，以及(1342)。
那我们能不能找出一个阶为6的子群呢？
假设有这样一个阶为6的子群H，那么它的指数是2。
等等，指数是什么意思？指数就是陪集的个数。
为啥陪集个数是2呢？？？？？
为了解释这个问题，先看看集合S_3的所有排列
其中一个阶为3的子群是(1)(2)(3)和(3)(12)和(3)(21)，我们记这个为H
那么与之相对的另一个就是(1)(23)和(12)(3)以及(123)，记为W吧。我们可以发现，有aG能把H变为W，那么后者干脆就记作aH。
但|H|和|aH|相等，即元素个数相等，都是包含3个置换。
假设G的元素为n，那么|H|的元素个数为m,
我们令所有不同的右陪集有k个，设为S={Ha1,Ha2,…,Hak}，则S就是G的一个划分，此时有
则子群H的阶m整除群G的阶，而且其整除的倍数就是不相同的右陪集的个数(同样，如果使用左陪集，会得到同样的结果)。
陪集为什么有两个的问题解决了，之前说道的指数为2的H，如上面那样有两个陪集H和aH。
再回到之前六阶子群，对任意a\inA_4，有a^2\inH。例如第二个排列1243，写成置换就是(1)(2)(34).，不属于H。而自己再乘以自己就变成了(1)(2)(3)(4)。而这个在H里面。这没什么问题。
但要是a是3-循环置换的话，比如排列1342，写成置换就是(1)(234)，自己的三次方就能恢复成(1)(2)(3)(4)。
但由于3-循环置换的一次方和二次方都是循环置换，也就是a^3=1,a=a^4=(a^2)^2。假如a不在H中，由之前的定理，那么a^2在H中，又由于a^3=1,a=a^4=(a^2)^2，那么a=a^4也在H中，所以一定所有的3-循环置换都在H中。
由于交错群有12阶，其中8个是3-循环置换，子群要包含全部的3-循环置换，阶至少得是8，可偏偏H的阶是6，所以H不可能存在，命题得证。
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