三门问题扩展：四门问题，N门问题的解法

为深化理解，我们可以将经典的三门问题进一步拓展为“四门问题”。在这个新版本中，我们设定只有一个车，而其余三个都是羊。在参与者四选一后，主持人会揭示一扇藏有羊的门，并询问参与者是否愿意从剩余的两扇门中更换选择。接下来，我们来分析换与不换的中奖概率。

若参与者选择不换门，其中奖的概率即为初始选择的概率，即1/4。这意味着，每四次尝试，会有一次中奖；每八次尝试，会有两次中奖。

现在我们探讨更换选择的情况。考虑以下四种可能：

1. 若首次选中的是车（概率为1/4），随后主持人会揭示一扇羊的门，剩下的两扇门中都是羊，此时更换选中的概率为0。

2. 若首次选中的是羊（概率为1/4），主持人揭示另一扇羊的门后，剩下的两扇门中有一扇是车，此时更换选中的概率为1/2。

3. 若第二次选中的是羊（同样概率为1/4），再次揭示一扇羊的门后，剩下的两扇门中有一扇是车，更换选中的概率仍为1/2。

4. 若第三次选中的是羊（同样概率为1/4），主持人揭示剩余的一扇羊的门后，剩下的两扇门中有一扇是车，更换选中的概率依然是1/2。

将上述各种情况综合考虑，更换选择后的中奖概率为0 + 1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8。或者更简洁地表示为：更换后中奖的概率是（3/4）×（1/2）=3/8。

显然，更换选择的中奖概率总是高于坚持初始选择。这一结论可以进一步推广到N门问题中。在N门问题中，更换选择后的中奖概率P可以表示为[(n-1)/n]×[1/(n-2)]，而初始选择的概率P1为1/n。通过比较可以发现，更换选择后中奖的概率确实得到了提升。

因此，无论是三门问题还是扩展后的四门问题，甚至是更广泛的N门问题，更换选择都是一个更为明智的策略，因为它能显著提高中奖的概率。