运载火箭的性能参数（科普）

推重比、比冲、速度增量、干质比、结构系数、有效载荷比……你想知道的关于运载火箭的一切都在这里了。

生活在现代的中国人都听说过火箭，也都坐过车。对于自家的车，许多人可以如数家珍地报出许多性能参数，比如百公里耗油多少，起步加速多快，等等。但是如果要描述火箭，很多人就只能报出一些感性的形容词，很大，很帅，牛逼，诸如此类。

其实大多数人对于火箭的工作原理，受力情况，以及火箭的具体性能是不够了解的。

当然，火箭是一个非常复杂的工程结构，它的具体工作原理也好，受力分析也罢，都不是几篇文章可以讲清楚的。今天我们不聊太复杂的，就单独谈谈火箭的整体性能参数，也就是该怎么描述火箭的性能。

为了帮助大家理解，我还出了一道习题，感兴趣的同学看完之后可以尝试着做一下(虽然出好了，但是文章还没写完，所以现在还没放上来……)。

(这篇文章的重点为液体燃料化学运载火箭，其它种类的火箭以后另外开文章写)

标星号(*)越多的章节越重要，满星为三星(***)，没标星号的章节了解即可。

由牛顿第二定律，作用在一个物体上的力可表示为：F=\frac{d}{dt}(mv)

对于我们日常生活中的大多数物体，它们的质量都是不随时间发生改变的，故有：

F=\frac{d}{dt}(mv)=m\frac{dv}{dt}=ma(这就是高中生最熟悉的牛顿第二定律表现形式)

但是火箭这种喷气推进装置则不一样，它本来就要喷出自身的一部分质量来获得推力，所以它的质量是随时间变化的，不能将m直接从对时间的微分中拿出来。

简单起见，我们不妨把火箭发动机固定在试车台上单独分析。

此时火箭发动机的速度是不变的，但是它的每秒钟喷出一定的质量来获得高额的推力。对火箭发动机(及其燃料罐的整体)应用牛顿第二定律，有：

F=\frac{d}{dt}(mv)=\frac{dm}{dt}v=\dotmv(物理上喜欢用上标一点来表示微分)

当火箭发动机处于正常工作状态，且外界环境也不变时(外界气压的变化会改变喷管工作状态)，火箭每秒喷出的燃气质量\dotm，和这些燃气的运动速度v都是不变的。故我们可以用一个简单的公式来计算火箭的推力：

F=\dotmv_{e}(一般用v_{e}表示飞机，火箭等喷气推进装置的有效排气速度)

典型的火箭发动机每秒可以将数吨的燃气以数千米每秒的速度喷出，这意味着火箭发动机有着很大的推力。

假设某型号的发动机在正常工作状态下每秒以3km/s的有效排气速度喷出2吨的燃气，则它产生的推力大小为：F=2t/s\times3km/s=2000kg/s\times3000m/s=6\times10^{6}N

由于数字很大，我们一般也用一吨质量所受的重力大小来表示火箭的推力。一吨质量在地表受到的重力大小约为：F_{g}=1000kg\times10m/s^{2}=10000N(当然，要求精确计算时不会这么用)。

故在描述火箭推力时，我们可以按照每10000N记为1吨的记法来表示火箭推力，则上述火箭发动机的推力为：F=6\times10^{6}N=600t，这样就避免了使用科学计数法。

当然，我们知道，地球表面的重力加速度较为精确的数值是9.80665m/s^2，我们也可以用这个值来折算火箭的推力.若取这个重力加速度的数值，一吨质量在地表受到的重力大小约为：F_{g}=1000kg\times9.80665m/s^{2}=9806.65N，那么某型号火箭的推力大小折算为F=6\times10^{6}N=611.82973t。

这两种折算方式都是合理的，若是想要快速获得精确到数量级的结果，或者是为了方便计算，则可以使用前一种；若是需要进行比较精确的计算，则可以使用后一种。

目前单室推力最大的火箭发动机是土星五号的一级发动机：F-1发动机。(这还是上世纪60年代的产物……)它的海平面推力大小约为6.7\times10^6N=683.20986t[1]，比如上假设的某型号发动机还厉害些。

非常巧的是，上述经过折算的推力刚好可以简化推重比的计算。

\frac{T}{W}=\frac{Thrust(N)}{Weight(kg)\timesg}=\frac{\frac{Thrust(N)}{1000kg/t\timesg}}{\frac{Weight(kg)}{1000kg/t}}=\frac{Thrust(t)}{Weight(t)}

可以看到，当推力和结构质量均用吨的单位表示时，推重比就等于二者的数值之比，计算非常方便。

若上文假设的某型号发动机重8吨，则其海平面推重比为：\frac{T}{W}=\frac{611.82973t}{8t}=72.47872

一般而言，火箭发动机的自重都不会很大，例如F-1发动机的自重约为8.353[1]吨，那么它的海平面推重比为：\frac{T}{W}=\frac{683.20986t}{8.353t}=81.79215。

目前推重比最大的液体火箭发动机为spaceX的梅林1D发动机[2]，它的海平面推力为845kN，即86.16602吨；真空推力为914kN，即93.20206吨，而它的自重仅为约0.47吨，故其海平面推重比为183.33196，真空推重比更是高达198.30226，接近200，非常夸张。

有同学可能已经注意到了，上文中我提及某某发动机的推力，都会在前面加上“海平面”或者“真空”的限定语。这其实是因为当外界压强不同时，火箭发动机的推力确实不一样。

计算火箭推力的完整公式[3](依然经过近似和简化)分为动量项和压力项：

F=\dotmv_{e-opt}+A(p_{e}-p_{0})

其中\dotm为质量流量，p_{e}为发动机喷嘴处的压强，p_{0}为外界环境压强，v_{e-opt}为p_{e}=p_{0}时火箭的排气速度。

从上式可以看出，当出口压强等于大气压强时，火箭具有最大的总推力(因为这种条件下喷管具有最佳的膨胀比)；对于一个确定的发动机而言，当其外界压强为零时其推力最大。

故火箭发动机的真空推力总是大于海平面推力，不过由于压力项在发动机总推力中所占的比例不高，故真空推力不会比海平面推力大太多，二者的差距一般在5%~20%的区间内。

显而易见，如果一个火箭(的某一级)装有多台发动机，则它获得的总推力为其所有发动机推力的总和；而一个火箭若想升空，那么它的总推力大小必须大于它所受到的重力(事实上，1.3倍左右为佳，不过这里我们不管这么多)。

我们知道，冲量被定于为力关于时间的积分：I_{mp}=\intFdt,单位为N\cdots

I_{sp}=\frac{\int_{0}^{t}Fdt}{g\int_{0}^{t}\dotmdt}

其中t为推进剂的燃烧时间，\dotm为推进剂喷出的质量流量，F为推进剂燃烧所产生的推力。

上述定义可能不太好理解，但是考虑到火箭处于正常工作状态下时\dotm与F几乎不变，故上式可以简化为：

I_{sp}=\frac{F}{\dotmg}

回忆上节已经得到的结论：F=\dotmv_{e}。将其带入I_{sp}的表达式，可得：

I_{sp}=\frac{F}{\dotmg}=\frac{\dotmv_{e}}{\dotmg}=\frac{v_{e}}{g}(\star)

更常用的式子为v_{e}=I_{sp}g,因为火箭发动机在标注性能参数时经常使用比冲，而非排气速度本身(也许是为了装逼？)。

看了这篇文章，下次别人在你面前提起“XXX发动机的真空比冲怎么只有263啊。”的时候，你就不会一脸懵逼了，你知道，他其实是在说XXX发动机的有效排气速度，而不是其它什么神秘的东西。而且你还知道，一般的液体火箭发动机的真空比冲大概为280~450，像263这么低的真空比冲很可能属于某个固体火箭发动机(263其实是APCP，即高氯酸铵复合推进剂的理论比冲)。所以你大可以回一句“固推的比冲向来拉跨”作为回应，来打破他淡淡的优越感。

(好吧，装逼时间就到这里)

从*式还可以看出，当\dotm以kg为单位时，以N为单位的发动机推力可以这样表示：

F=\dotm(kg)I_{sp}g

当\dotm以t为单位时，以t为单位的发动机推力可以这样表示：

F=\dotm(t)I_{sp}

上式两个公式并不常用，因为海平面推力与真空推力是发动机的重要参数，一般都会标出。所以上面两个公式一般是在已知推力的情况下用来计算发动机的质量流量，各位自己倒一下就能用。

看到这里有同学可能就会问了，我们已经知道了比冲的意义，那么什么因素能够决定一个火箭的比冲呢？

一般而言，火箭的比冲主要取决于4个部分：

其中第一点决定了一款火箭发动机比冲的理论上限，后三点则决定了火箭发动机的比冲能够接近理论上限到什么程度。

(2、3、4点若是展开来讲的话就太复杂了，篇幅所限，在这里我们只能一笔带过，将重点放在第一个点)

火箭发动机的循环方式有许多种，我下面放几张图[4]，大家感受一下就行了(为了阅读的连续性，我将图片放到了另一篇文章里)。

关于2、3、4点的说明就到这里了，接下来是重点：发动机的燃料(推进剂组合)选择。

这是限制一款火箭比冲上限的最大因素。

下表列出了一些常用(最后两项不常用)推进剂组合的理论比冲[5](即燃料绝热燃烧+等熵膨胀之后燃气能达到的速度，工程上无法完美实现上述的两个条件，现实中的火箭发动机即使使用与下表相同的推进剂组合也达不到这么高的比冲)。

(计算真空比冲时假设喷管的出口面积与喉部面积的比例为40：1)[5]

表中最后一项列出的氟+氢+锂三元组推进剂为基本为化学火箭的比冲极限了[6]，根据NASA在1970年发布的实验报告，该推进剂组合的比冲达到了惊人的542秒。但是由于这三种物质都难以储存，而且反应产物全是剧毒(知道为什么没有海平面比冲了吧……)，应用成本过高，所以没有得到采用。

看到这里，大家应该也注意到了，不论是什么推进剂组合，其真空比冲都会比海平面比冲高一点，这是为什么呢？

其实这种现象的产生原因与真空推力比海平面推力大的原因一样，都是喷管工作状态会随着外界压强的改变而变化。

这一点从原理开始解释的话太复杂，感兴趣的同学可以看下面这本书的Chapter10自行学习(这是我学空气动力学时候的课本，大家下来自己看就行了，别用作商业用途……)。

(以后我或许会专门开一篇文章讲这个)

有同学可能会问：542秒就是喷气推进装置比冲的极限了吗？

其实不然，542秒只是化学火箭的极限，其它喷气推进装置的比冲可以远远大于这个值。一般而言，一个喷气推进装置想要提高比冲有两条路可以走：

比如现代飞机的动力来源——涡扇发动机就选择了第二条路。

不像火箭需要自己携带氧化剂和还原剂，它只携带还原剂(一般是航空煤油)，燃烧所需的氧化剂直接从空气中吸取，而且它不会直接喷出燃烧完成的燃气，而是用它驱动风扇旋转，从而吸取更多的空气，通过外涵道加速喷出。所以，涡扇发动机燃烧一点点燃料(相对火箭而言的一点点)就能推动相当多的空气，产生可观的推力。

也就是说，涡扇发动机喷出的质量分为两个部分：自身携带的部分和从大气中吸取的部分。

在比冲的定义式I_{sp}=\frac{\int_{0}^{t}Fdt}{g\int_{0}^{t}\dotmdt}中，位于分母上的\dotm指的是燃料的质量流量，这在涡扇发动机喷出的总质量流量中只占很小的一部分，然而推力的产生却是和总质量流量成正比的。于是，涡扇发动机就这样“白嫖”了一部分推力，在计算它的比冲时，分子上推力关于时间的积分就会比较大，分母上燃料质量流量的积分就会比较小，从而可以算出来非常大的比冲。虽然它们的实际排气速度只有300m/s左右，并不高。

事实上，因为能从空气中获取氧化剂，所以几乎所有吸取空气的喷气推进装置比冲都比火箭高。

不过火箭没法模仿这些吸气式喷气推进装置的原理来提高自己的比冲，毕竟外太空没有空气。

那么有同学可能会问了，火箭不是要在大气层中运行一段吗，那么能不能在大气层里的时候吸气白嫖一些推力，到了大气层外边再用自带的氧化剂呢？

组合动力发动机的原理比较复杂，而且装备了这种发动机的飞行器基本上都是和飞机一样水平起飞的，和本文讨论的火箭差异较大，故在此不展开讲，感兴趣的同学可以上网自行了解。

既然飞机选择了第二条路，自然也有选择第一条路——增加排气速度的飞行器，那就是卫星。

部分卫星的动力——离子推进器，就在第一条路上走到了极致。

例如，场效应离子推进器的比冲最高能够达到约10000秒[7]，对应接近100km/s的排气速度，是第二宇宙速度的8.9倍，可谓是非常块了。

然而离子推进器的高比冲是有代价的，那就是低推力。上述比冲能够达到10000s的场效应离子推进器，它的最大推力只有1mN，也就是10^{-3}N，然而却要消耗60W的电功率。

如果我们想用这种推进器来产生500吨的推力(大概是小型火箭的升空推力)，那么我们需要5\times10^{9}个这样的推进器，付出将近3\times10^{11}W的电功率。要知道，目前人类文明的能耗也只有约1.84\times10^{13}W[8]，这样的电功率消耗是目前人类文明总能耗的1.63%，况且50亿个推进器的质量肯定远远大于500吨。

也就是说这么大一坨东西，消耗这么多功率，却还是不能在大气层内飞起来……

那么有同学可能会问了：有没有比冲非常高，同时推力也很大的发动机呢？

嗯……工程上没有万能的方案，目前这样的发动机还不存在。但是，如果未来可控核聚变技术产生了突破，也许能够造出比冲非常高，推力也不算太小的聚变发动机，让我们拭目以待吧。

(然而由于质量流量小的原因，聚变火箭的推力还是难以与化学火箭相比。即使以后真的造出了装备聚变引擎的火箭，极大概率不能从地面直接起飞，更不能像三体里一样把飞船推到120g的加速度。)

我们在第二节已经得到了火箭发动机推力与其质量流量和有效排气速度的关系为F=\dotmv_{e}，不妨假设火箭只受到自己产生的推力，且其发动机的排气速度v_{e}不随时间发生改变，将其带入上式，有：

a(t)=-v_{e}\frac{\dotm(t)}{m(t)}

上式出现负号的原因是加速度a的方向与排气速度v_{e}的方向相反。

在火箭工作期间内任取一段时间(t_{0},t_{1})进行分析，假设t_{0}时刻火箭的速度为v_{0},质量为m_{0};经过长度为t_{1}-t_{0}的一段时间，到了t_{1}时刻火箭的速度变为v_{1},质量变为m_{1}。

上式两侧同时从t_{0}到t_{1}积分，有：

\int_{t_{0}}^{t_{1}}a(t)dt=-v_{e}\int_{t_{0}}^{t_{1}}\frac{\dotm(t)}{m(t)}dt

考虑到a(t)=\frac{dv(t)}{dt},\dotm(t)=\frac{dm(t)}{dt},故有(简洁起见，省略函数标识(t))：

\int_{v_{0}}^{v_{1}}dv=-v_{e}\int_{m_{0}}^{m_{1}}\frac{dm}{m}

积分可得：

v_{1}-v_{0}=-v_{e}(ln(m_{1})-ln(m_{0}))=v_{e}ln(\frac{m_{0}}{m_{1}})

\Deltav=v_{e}ln(\frac{m_{0}}{m_{1}})

上式成立的条件有两个：

在现实中，火箭发动机的排气速度基本保持不变，所以齐奥尔科夫斯基火箭方程成立前提条件的第二点基本是满足的。关于第一点，虽然现实中的火箭在发射过程中除了发动机推力之外还会受到重力和空气阻力等外力，从而使得火箭受到的合外力不等于发动机推力，但是我们可以引入一些小技巧(计算它们的功)，将这些力的影响折算成速度增量的损失，使得齐奥尔科夫斯基火箭方程可以应用在大气层内发射的火箭上。

还记得上一节讲到的离子发动机吗？

它低推力、高比冲的特性非常适合在太空中积累速度增量。

虽然离子发动机的推力很小，但是在太空中运转的航天器也几乎不受阻力的作用，所以离子发动机可以持续运转很长时间，慢慢地用它超高的排气速度积累可观的速度增量。

我们来看一个例子：

假设太空中有一火箭，它的初质量为6吨，点燃发动机燃烧了4吨的燃料，其发动机的排气速度为3km/s(液氧煤油燃料)，则它获得的速度增量为：

\Deltav_{1}=3000\timesln(\frac{6t}{2t})=3000ln3=3295.83687m/s

假设它的隔壁有另一枚火箭装备了离子发动机，它的初质量也为6吨，启动发动机喷出了0.2吨的氙气，其发动机的排气速度为100km/s，则它获得的速度增量为：

\Deltav_{2}=100km/s\timesln(\frac{6t}{5.8t})=3390.15517m/s

后一枚火箭只花费了前一枚火箭\frac{1}{20}的燃料就获得了比前者更高的速度增量，由此可见比冲(排气速度)的重要性。

有同学可能已经发现了，齐奥尔科夫斯基火箭方程并没有为火箭设置速度上限，按照这个理论，当m_{0}比m_{1}大非常多倍时，火箭的速度甚至可以超过光速。

确实，齐奥尔科夫斯基火箭方程是在经典力学的框架下推导的，并未考虑相对论效应的影响，若考虑狭义相对论的影响，则火箭方程将变为：

\Deltav=ctanh(\frac{v_{e}}{c}ln(\frac{m_{0}}{m_{1}}))

其中c为光速，v_{e}为火箭的排气速度，tanh为双曲正切函数，定义为：tanh(x)=\frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}

容易看出，当\frac{m_{0}}{m_{1}}\rightarrow\infty时，ln(\frac{m_{0}}{m_{1}})\rightarrow\infty,tanh(\frac{v_{e}}{c}ln(\frac{m_{0}}{m_{1}}))\rightarrow1,从而\Deltav\rightarrowc。

由于目前人类的航天器速度相对于光速而言实在是太慢，故实际计算中经典的齐奥尔科夫斯基火箭方程其精度就已经够用了。

有同学可能会问了，费那么大功夫算这个速度增量有什么用呢？

我们知道，卫星在轨道上稳定运行是有条件的，以圆轨道为例，卫星所受到的重力应当与其运动需要的向心力相等，而这是需要一定速度的。

我们在高中时期就学习过圆形轨道环绕速度的计算方法，令卫星的向心加速度与其受到的重力加速度相等，有：

G\frac{M_{\oplus}}{(R_{\oplus}+h)^2}=\frac{v^{2}}{R_{\oplus}+h}

化简得:

v=\sqrt{\frac{GM_{\oplus}}{R_{\oplus}+h}}

以低地球轨道(LEO)为例，令h=200km，带入G=6.6743\times10^{-11}m^3kg^{-1}s^{-2},R_{\oplus}=6371km,M_{\oplus}=5.97237\times10^{24}kg,可得低地球轨道(LEO)的环绕速度为：

v=7788.61938m/s

卫星从被生产出来时相对地面静止，需要加速到接近7.8km/s才能进入低地球轨道(LEO)，这7.8km的速度增量就需要运载火箭来提供。

而且，7.8km的速度增量还不够，火箭在升空的过程中还会受到重力和空气阻力等外力的作用，它们会消耗一部分火箭产生的速度增量。

我们先来计算重力消耗的部分，还是以低地球轨道为例，将质量为m的物体从地表抬升到200km高度需要消耗的能量为(即离地200km处的重力势能)：

W=\int_{0}^{200km}\frac{GM_{\oplus}m}{(R_{\oplus}+h)^2}dh=1.90434\times10^{6}\timesm(J)

假设这么多能量对应物体以速度v运动时具有的动能，则有：\frac{1}{2}mv^{2}=W

即：v=\sqrt{2\times1.90434\times10^{6}}=1951.58397m/s

故载荷的每一份质量想要攀升到200km的高度，需要的能量在数量上等于自身以约1951.58m/s的速度运动所携带的动能。

所以我们可以认为，当发射到近地轨道时，重力在载荷上的作用可等效为消耗了1951.58m/s的速度增量。

算上重力的影响，想要将载荷送入低地球轨道，我们至少需要为其提供9740m/s的速度增量。

讨论火箭整体在重力场中的行为则比较复杂，因为火箭是变质量系统。这其中有一个有趣的现象，称为Oberth效应，感兴趣的同学自行了解。

我们知道，地球的自转角速度约为\omega=7.292115\times10^{-5}rad/s[9]，地球的赤道半径为R_{\oplus赤道}=6378.1km。

故如果火箭的发射场在赤道上，那么它在发射前相对于地球质心就具有v_{0}=\omegaR_{\oplus赤道}=465.09839m/s的切向速度。

如果我们令火箭升空后转向的方向与火箭发射场所在位置地球自转线速度方向相同，那么火箭就可以“白嫖”一些速度增量。

我们知道，纬度越低地球自转的线速度就越大，在赤道处地球自转的线速度达到最大，从而火箭可以“白嫖”更多的速度增量。这就是各国都喜欢在低纬度地区修建火箭发射场的原因(俄罗斯暴风哭泣)。

我们还没有考虑空气阻力对火箭的影响，要定量计算空气阻力对火箭的影响就需要计算空气阻力在火箭升空全程所做的功，需要积分：

W=\int_{0}^{200km}F_{Drag}dh=\int_{0}^{200km}\frac{1}{2}\rho(h)v(h)^{2}S(h)C_{D}(h)dh

在火箭升空的过程中，空气密度ρ(大致随海拔升高指数下降)，火箭的速度v(火箭在上升的过程中加速)，火箭的迎风面积S(火箭在上升的过程中会转向)，还有阻力系数C_{D}(与多种因素相关，非常复杂)都是随时间变化的，从而也是海拔高度的函数。这个积分非常复杂，一般而言很难将其解析地积分出来，篇幅所限，我们也不在这里试图计算它。

作为替代，我们可以定性地考虑一下空气阻力对火箭的影响。

定义动压为：q=\frac{1}{2}\rhov^{2}(学过空气动力学的小伙伴肯定很熟悉)

火箭在发射台上时，空气密度比较大，但是火箭的速度为零，所以火箭表面的动压为零。

火箭在轨道上时，火箭的速度很大，但是火箭周围的空气密度(基本)为零，所以火箭表面的动压也为零。

由于动压始终非负，由罗尔中值定理，我们知道，在火箭飞行的过程中存在一个动压最大的点。

由于空气阻力可表示为D=\frac{1}{2}\rhov^{2}SC_{D}=qSC_{D},所以如果S与C_{D}不变，动压的极大值点往往也是火箭受到空气阻力的极大值点(虽然S和C_{D}在变，这两个极值点一般而言还是基本重合)。

下图是航天飞机某一次发射升空过程中测量的部分q-t曲线[10]：

从上图可以清楚地看到最大q值点的存在。

我们不妨用上图的最大q值点来估计空气阻力对火箭的影响，上图中的最大q约为700lb/ft^{2}

我们知道，1lb=0.4535924kg,1ft=0.3048m,故1lb/ft^{2}=47.88026Pa

故上图中的700lb/ft^{2}转化为公制单位约为33516.1835Pa

火箭的空气动力学外形经过专门设计，故其阻力系数一般不会很大，不妨取C_{D}=0.5。

火箭的迎风面积会随着火箭的姿态变化而变化，火箭的速度方向与其箭体越平行，则其迎风面积越小，火箭在空中的转向会略微增大其迎风面积。我们粗略估算一下，航天飞机的等效直径约为8.7m[11]，故其投影面积约为237.787m^{2},在100m^2这个量级，我们不妨令其为300m^{2},则航天飞机升空过程中受到的空气阻力最大值约为：

D=qSC_{D}=33516.1835Pa\times300m^{2}\times0.5=5.02743\times10^{6}N=512.65494t

航天飞机的总推力有约3700吨，这个数值为其总推力的13.85554%，这是空气阻力的极大值点，所以其它时刻的空气阻力远小于这个值。

定性地看，我们可以认为空气阻力对火箭产生总速度增量的影响不是很大。

感兴趣的小伙伴可以自行对上图数值积分从而更精确地估算空气阻力对火箭的影响(注意图中的单位是英制单位)。

为了简单起见，我们不妨令空气阻力消耗的速度增量与火箭从地球自转中白嫖的速度增量相等，从而二者可以相互抵消。

这样，我们就得出了将载荷发射进入低地球轨道火箭需要提供的速度增量——约9.7km/s。

事实上，低地球轨道的发射通常需要火箭提供9.3km/s~10km/s[12]的速度增量(受到发射纬度、载荷类型、任务类型、火箭设计等很多因素的影响，我们暂时不讨论这个)，我们对它的估计还算比较准确。

我们还可以看看从地球发射载荷到月球与火星所需的速度增量。

从上图可以看出，即使是去火星，从地表发射到低地球轨道所消耗的速度增量都占了整个过程所需总速度增量的一半。而且由于重力和空气阻力的影响，从地表发射载荷到近地轨道的过程目前只能用比冲较低、推力非常大的化学火箭。等载荷进入太空之后，还可以使用比冲非常高的离子发动机更加高效地积累速度增量。

所以，从速度增量需求的角度看太阳系内的航天任务，其难度大头一般都在从地表发射到近地轨道的过程。只要把载荷运进了近地轨道，无论你接下来想去哪里(除非要“登陆”太阳、木星、土星)，都可以说你已经成功一半了。

下面这张图更加详细地介绍了在太阳系内各个天体间转移所需的速度增量，感兴趣的同学可以下载查看。

(字太小，直接放看不见，各位下下来放大看……)

速度增量是航天发射任务中最核心的概念(几乎没有之一)，只要看一个任务所需的速度增量，就可以定性地估计该任务的难度。所以，产生速度增量的能力也就是运载火箭的核心指标之一。

为了更直观地讨论接下来的这个概念，我们先约定一些记号：

考察某型号的运载火箭，它所携带的有效载荷质量记为m_{payload}；它所携带的推进剂(包括氧化剂和还原剂)总质量记为m_{propellant}；除了上述二者之外，火箭其余部分的质量，包括发动机，火箭壳体等结构的质量全部统称为火箭的结构质量，记为m_{structural}。

定义火箭的空载质量为：m_{empty}=m_{payload}+m_{structural}

定义火箭满载质量为：m_{full}=m_{empty}+m_{propellant}

M_{R}=\frac{m_{full}}{m_{empty}}=1+\frac{m_{propellant}}{m_{empty}}

在讨论具体的运载火箭的质量比(干质比)时，载荷质量m_{payload}常常设为零，但是为了与齐奥尔科夫斯基火箭方程对应，我们一般还是会保留它的存在。

还记得齐奥尔科夫斯基火箭方程吗？

我们回忆一下，它长这样：

\Deltav=v_{e}ln(\frac{m_{0}}{m_{1}})

再看看质量比的定义，是不是有点眼熟？

质量比其实就是齐奥尔科夫斯基火箭方程里被取对数的火箭初质量与末质量之比\frac{m_{0}}{m_{1}}。

由于火箭的空载质量有时被称为“干重”，火箭的满载质量有时也被称为“湿重”，所以当火箭的质量比定义为M_{R}=\frac{m_{full}}{m_{empty}}时，它会被称为干质比(考虑到液体燃料是“湿的”，不得不说这个称呼还比较形象)。

当质量比定义为M_{R}=1+\frac{m_{propellant}}{m_{empty}}时，它也会被称为推进剂质量比(PropellantMassRatio)。

大家一定要意识到，质量比、干质比、推进剂质量比这三个名词其实指的是同一个事物，即齐奥尔科夫斯基火箭方程里被取对数的火箭初质量与末质量之比\frac{m_{0}}{m_{1}}。

在不同场合质量比(MassRatio)的定义可能不同，例如在Sutton写的《RocketPropulsionElements》中，质量比被定义为M_{R}=\frac{m_{1}}{m_{0}}，在这样的定义下质量比将会是恒小于1的。

考虑到大部分人都已经习惯性地将质量比(MassRatio)定义为\frac{m_{0}}{m_{1}}，为了符合多数人的习惯，本文也将沿用M_{R}=\frac{m_{0}}{m_{1}}的定义。

由于国内惯用干质比这个名字描述质量比的概念，所以下文将质量比(MassRatio)这个概念统称为干质比。

由齐奥尔科夫斯基方程的性质可知，火箭的干质比越大就意味着火箭能够产生越多的速度增量，能够执行更高难度的航天任务，所以我们一般希望干质比越大越好。

看到这里，大家可能会产生一些疑问：“由推进剂质量比的定义式可以看出，干质比大不就意味着火箭消耗了更多的燃料吗，那么是不是干质比越大火箭的效率就越低呢？”

其实并不是，要不然我们也不会认为干质比越大越好了。只不过单单干质比一个概念还不够，我们还需要从其它侧面定义两个概念来描述火箭的性能。

\lambda=\frac{m_{payload}}{m_{full}-m_{payload}}=\frac{m_{payload}}{m_{structural}+m_{propellant}}

我们希望有效载荷比越大越好，因为这意味着可以用尽量少的推进剂发射更多的有效载荷。

\epsilon=\frac{m_{structural}}{m_{structural}+m_{propellant}}

结构系数与火箭所携带的有效载荷质量无关，是衡量火箭设计效率的指标。没有人愿意消耗一大堆燃料将与载荷无关的火箭结构质量送入太空，所以该系数的越小说明火箭的设计效率越高。

容易证明，干质比MR、效载荷比λ、结构系数ε这三者之间存在如下关系：

M_{R}=\frac{1+\lambda}{\epsilon+\lambda}

上文已经提到过了我们希望结构系数ε越小越好，有效载荷比λ越大越好，我们可以分别考察增大有效载荷比与减小结构系数对干质比产生的影响。

我们先考察减小结构系数ε对干质比产生的影响，从上式容易看出，由于ε只在分式的底部出现，所以减小ε只会减小干质比的分母，对其分子则没有影响，而且λ和ε都是大于零的实数，分式整体必然是大于零的，所以减小结构系数ε会增大火箭的干质比。

然后是增大有效载荷比λ对干质比产生的影响，我们对干质比的表达式做适当的变形，可得：

M_{R}=\frac{1+\lambda}{\epsilon+\lambda}=\frac{1+\lambda+\epsilon-\epsilon}{\epsilon+\lambda}=1+\frac{1-\epsilon}{\epsilon+\lambda}

从上式容易看出，有效载荷比λ只出现在分式\frac{1-\epsilon}{\epsilon+\lambda}的分母上，而且由结构系数ε的定义可知0<ε<1，所以该分式大于零，从而增大其分母上的λ会使分式的值减小，进而使得干质比本身减小。

由上述讨论可知，增大有效载荷比λ会使得干质比减小，减小结构系数ε则会使得干质比增大，我们同时希望一款火箭的干质比尽可能大，有效载荷比尽可能大，结构系数尽量小，则三者之间必然会达到某种平衡，具体该如何取舍则取决于具体工程实际情况。

由于齐奥尔科夫斯基火箭方程中存在对数，而且地球的重力也比较大，需要非常多的速度增量才能把载荷送入轨道，所以运载火箭的有效载荷比不可能很大。这是物理学的限制，基本无法突破。

事实上也的确如此，大部分运载火箭的有效载荷比都非常小(在1%这个量级)，其变化对干质比的影响不起主导作用。

而结构系数不一样，良好的设计和制造工艺可以把结构系数做得很小，反之则不能。这是工程学的限制，是可以突破的。

故在影响干质比的两个因素中，一般而言结构系数起主导作用，在保证安全的前提下，结构系数当然是越小越好，所以一款火箭的干质比自然是越大越好。

上述三个无量纲比率都是针对特定型号的运载火箭定义的，而且对于多级火箭，我们一般将其拆开成单级分别讨论(计算干质比时载荷质量一般设为零)。

例如猎鹰重型地面级(包括芯级和两个大助推器)的干重约为22.2吨[13]，它能够携带约433.1吨的液氧煤油推进剂，则其干质比为：

1+\frac{433.1}{22.2}=20.509

猎鹰重型的二级干重约4吨，可以携带约111.5吨的液氧煤油推进剂，则其干质比为：

1+\frac{111.5}{4}=28.875

我们也可以换一个角度，从完成特定航天任务，即目标速度增量的角度看质量比(我认为在此情况下干质比这个名字不再贴切，故改用质量比)。

只需将齐奥尔科夫斯基火箭方程稍作变形，就可以得出达到任意\Deltav所需质量比的计算公式(这个式子只适用于单级火箭，多级火箭需要拆开来每一级单独算)：

M_{R}=\frac{m_{0}}{m_{1}}=e^{\frac{\Deltav}{v_{e}}}

从上式可以看出，完成特定航天任务所需火箭的质量比与目标速度增量和火箭发动机有效排气速度的比值呈指数关系。如果火箭发动机的排气速度不变，则航天任务所需的速度增量每增加一点，其所需火箭的质量比都会成倍地增加，从而制造该火箭的成本也会迅速增加，这就是航天发射如此昂贵的原因之一(另一个原因是造火箭发动机太贵了)。

航天发射任务中所需火箭的质量比取决于很多因素，主要有以下几点：

有趣的是，当我们讨论特定型号火箭的干质比时，我们希望它越大越好，因为这代表该型号火箭可以执行更加多样化，更加高难度的任务，泛用性更强。

但是当我们讨论某个航天任务所需火箭的质量比时，我们希望它越小越好，因为这意味着该任务可以选用较小的火箭，消耗较少的燃料，以较低的成本完成。

不过无论是哪种情况，我们都希望火箭的有效载荷比越大越好，结构系数越小越好，因为这意味着我们做了尽量少的无用功。

火箭在飞行过程中的加速度并非一成不变，我们不妨考虑一个处于宇宙空间中，不受任何外力的火箭来进行初步分析。

我们若火箭发动机处于正常工作状态，且外界大气压强不变，则火箭发动机的推力基本不变，有：F(t)=F

将火箭发动机点火的瞬间设为零时刻，假设发动机在点火的瞬间即达到稳定工作状态，且火箭发动机正常工作时喷出的质量流量不变，则火箭的质量变化规律可表示为：m(t)=m_{0}-\dotmt

易知，当火箭的燃料(推进剂)全部用完之后，火箭将无法产生推力，届时有：\dotm=0;F=0

假设火箭的燃烧时间为t_{e}=\frac{m_{propellant}}{\dotm}，则此枚火箭的加速度可表示为：a(t)=\left\{\begin{align}\frac{F}{m_{0}-\dotmt}&&0t_{e}\\\\\\\\end{align}\right.

其中F为火箭的总推力大小(假设恒定)，m_{0}为火箭的初质量，\dotm为火箭发动机的质量流量。

我们考虑一种较为极端的情况，我们使用仅装载F-1发动机的单级火箭将20吨的载荷送入太空，除发动机外的火箭其它结构质量忽略不计。

经过粗略计算，为了产生至少9.7km/s的速度增量，我们需要2台F-1发动机和约1200吨的液氧煤油推进剂。

单台F-1发动机的质量流量约为2578kg/s，故该火箭的工作时间为：t_{e}=\frac{1200}{2\times2.578}=232.73856s

该火箭的加速度变化规律(忽略重力的影响)如下所示：

从上图可以看出，该火箭的加速度从刚发射时的1.107逐渐增加，直到232.7秒后到达峰值的37.13，增加了32.54倍。

37.13m/s^2的加速度大小，是地球表面重力加速度(9.80665)的约3.786倍，是木星表面(压强等于1Bar处)重力加速度(24.79)[14]的约1.498倍，是太阳赤道表面重力加速度(274)[15]的约13.55%，可谓是非常大了。

由于火箭结构和其载荷的承受能力有限，所以有时火箭在飞行的某个阶段需要减小一些推力，进而减小峰值加速度，以防止对其结构或者载荷产生破坏。

如果考虑地球重力对火箭的影响，则不得不将重力转向也纳入考虑，火箭的加速度变化规律会极大地复杂化。

(有时间再写)

(而且这个很可能会超出本文的知识范围，也许需要新开一篇文章)

最近比较忙，不定期更新。